By Erwin Kruppa

Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der Strahlflachen in einer von mir in einigen Arbeiten entwickelten Methode dargestellt, die die Theorie der Raum kurven als Sonderfall der Theorie der Strahlflachen erscheinen laBt. 1m zweiten Teil "Konstruktive Differentialgeometrie" wird in der Differential geometrie die seit den Uranfangen der Geometrie getibte Methode angewendet, die das im Geiste moglichst klaF gedachte, wenn moglich graphisch versinnlichte geometrische Objekt mittels Synthese und Rechnung erforscht. In ihrer Frtih zeit conflict die Differentialgeometrie stark anschaulich-konstruktiv ausgerichtet. Diese Richtung muBte aber in den Hintergrund treten, je mehr die moderne Ent wicklung in abstrakte Gebiete fUhrte, die sich nur wenig oder gar nicht anschau li.ch erfassen lassen. Sie kam auch unverdient in MiBkredit, als miBbrauchlich in ihrem Namen viel Unfug mit "unendlich klein en GroBen" getrieben wurde. Es liegt in der Natur der Sache, daB in der Differentialgeometrie die anschaulich konstruktive Methode nur auf einer analytischen Grundlage angewendet werden kann, da ihre Begriffsbi1dungen auf Voraussetzungen tiber Differenzierbarkeit beruhen. Die auf diesem Wege zu gewinnenden Ergebnisse sind daher bloB Er ganzungen zur analytischen Theorie.

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Damit ergibt sich: E = 1 -+ p2, F = P q, G= I + q2, EG - F2 = + p f, 1 (tuu tu tv) = r, (tuv tu tv) = s, (tvv tu tv) Fur L, 1\1, N erhalt man nach Gl. (3a) und § 25 Gl. (4) V + p2 -+ q21\1 = I (2) tv = i -+ q I, -+ p2 -+ q2, = t. (3) (3 a) s, Im Nullpunkt P (0,0,0) ist gemaB Gl. (1) P= q = 0 und daher nach Gin. (3) und (4) E = G = I, F = 0, L = r, 1\1 = s, N = t. Daher gilt in P nach § 26 Gl. (2) I r dx2 -+ 2 s dx dy t dy2 (5) R dx 2 dy2 + + Gl. (5) liiBt sich durch eine Drehung des Achsenkreuzes urn die z-Achse vereinfachen.

Lombardo 9 (1856), S. 395. 4 Ann. Mat. pura appl. 2 (1868), S. 273. -B. bayer. Akad. Wiss. (1927)' § 39. ehensysteme Subtrahiert man die Gleichungen in der zweiten Zeile von (I) von den dariiber stehenden, so erhiHt man: ~''') ))1,. " ))1" = N ,. - M ". (2) Driickt man in Gl. ", ;t;"" nach § 36 GIn. (I) aus und wendet man dann die Formeln § 25 (2) an, so entstehen die gesuchten Gleichungen: = ril L M,,- N,. = r2l L L" - M,. + (rl22- ru M - ru2 N, + (r222-rI2l) M -rl22 N, l) worin die riTe in § 35 Gl.

Fli:ichen, auf denen in jedem Punkt Rl = -R2 gilt, heiBen Minimalfliichen. Sie werden nach Satz 4 durch die spharische Abbildung auf die Kugel winkeltreu (konform), § 23, abgebildet. § 34. Begleitendes Dreibein eines Streifens; geodatische Kriimmung, Normalkriimmung, geodatische Torsion. Die Beruhrebenen einer Flache in den Punkten P einer Flachenkurve c bilden die der Flache langs c umschriebene Torse is. Man nennt IS den Fliichenstreifen, kurzer Streifen c. Als begleitendes Dreikant des Streifens erklart man die folgenden drei paarweise aufeinander normalen Geraden in P.

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