By Thomas Keilen

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Damit ist aber σi = id f¨ ur i = s + 1, . . , t und somit ist σ = σ1 ◦ . . ◦ σs das Produkt von s Zyklen. Da sich σi als Produkt von ki − 1 Transpositionen schreiben l¨aßt, l¨aßt sich σ als Produkt von (k1 − 1) + . . + (ks − 1) = (k1 + . . + ks ) − s ≤ n − 1 Transpositionen schreiben. Die Behauptung ist also f¨ ur σ = id gezeigt. Da aber n ≥ 2 und zudem id = (1 2) ◦ (1 2) das Produkt von zwei Transpositionen ist, ist die Proposition bewiesen. Der Beweis ist konstruktiv, da die Gleichung (25) angibt, wie man einen Zyklus in Transpositionen zerlegt und somit die Aufgabe, eine Permutation als Produkt von Transpositionen zu schreiben, auf die Berechnung einer Zyklenzerlegung reduziert.

Wegen der Symmetrie gilt aber auch x ∼ z und mittels der Transitivit¨at dann x ∼ y. Sei nun u ∈ x beliebig, dann gilt u ∼ x und wieder wegen der Transitivit¨at u ∼ y. Also u ∈ y und damit x ⊆ y. Vertauschung der Rollen von x und y in der Argumentation liefert schließlich x = y. 9 ¨ Sei M eine endliche Menge, ∼ eine Aquivalenzrelation auf M und M1 , . . , Ms seien ¨ die paarweise verschiedenen Aquivalenzklassen von ∼. Dann gilt: s |M| = |Mi |. 8. 10 Es sei M = {(an )n∈N | an ∈ Q} die Menge aller Folgen rationaler Zahlen.

Es ist S2 = {id, (1 2)}, und id = (1 2) ◦ (1 2), also folgt die Behauptung. Induktionsschluß : Sei nun n ≥ 2 gegeben, und die Behauptung gelte f¨ ur n bereits. Ferner sei σ ∈ Sn+1 beliebig, aber fest. Es gibt ein i ∈ {1, . . , n+1} mit σ(n+1) = i. 18 Die Aussage “wir k¨ onnen ohne Einschr¨ ankung annehmen” bedeutet, daß wir nur einen speziellen Fall betrachten, daß aber offensichtlich ist, wie man aus diesem Spezialfall den allgemeinen Fall herleiten w¨ urde. Letzteres tut man dann nicht explizit, da es meist mit einem hohen Notationsaufwand und vielen Indizes verbunden w¨are, ohne eine tiefere Einsicht zu bringen.

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